Einfache Kreisaufgaben

Zum Einüben und Wiederholen grundlegender Arbeitsvorgänge beim Konstruieren mit einer dynamischen Geometrie-Software wollen wir einige einfache Kreisaufgaben lösen:

Tangente aus einem Punkt P an einen Kreis

Aufgabe: Konstruiere aus einem Punkt P die Tangenten an einen Kreis k.

Zusatz: Erstelle jeweils ein Makro und begründe die Richtigkeit der Konstruktion.

Thaleskreis	Konzentrische Kreise I	Konzentrische Kreise II

Historische Bemerkungen:

Die Konstruktion mit Hilfe des Thaleskreises taucht das erste Mal in Deutschland im 16.Jahrhundert auf; die eher unbekannte Lösung mit einem konzentrischen Hilfskreis durch den Punkt P steht bereits in Euklid's Werken. Die Ermittlung der Tangenten mit Hilfe eines doppelt so großen, konzentrischen Hilfskreises ist die zuletzt gefundene Lösungsmöglichkeit; sie stammt aus dem 19. Jahrhundert [vgl. LIETZMANN].

Lösungshinweise:

1) Mit Hilfe des Thaleskreises: Konstruiere einen Kreis mit dem Durchmesser MP; dieser Kreis schneidet k in den Berührpunkten T1 und T2 der gesuchten Tangenten t1 und t2.

Die Richtigkeit dieser Konstruktion begründet sich auf die Tatsache, dass jede Kreistangente zum Berührradius normal steht.

2) Mit Hilfe eines konzentrischen Kreises durch P: Die Gerade MP schneidet den Kreis k in zwei Punkten Q1 und Q2; in diesen Punkten werden die Normalen zu MP gezeichnet, die aus den Hilfskreis die vier Punkte B1, B2, B3 und B4 schneiden. Die Schnittpunkte der Durchmesser B1,B3und B2,B4schneiden aus k die Berührpunkte T1 und T2 der gesuchten Kreistangenten aus.

Wegen der Längengleichheit von M,P und M,B1 bzw. M,T1 und MQ1 und dem in beiden Dreiecken auftretenden Winkel P,M,T1 = B1,M,Q1 gilt: die Dreiecke M,P,T1 und M,B1,Q1 sind kongruent. Da das Dreieck M,B1,Q1 rechtwinkelig ist (auf Grund der Konstruktion) besitzt auch das dazu kongruente Dreieck M,P,T1 im Punkt T1 einen rechten Winkel.

Hinweis: Es reicht aus die Normale zu MP in Q1 zu zeichnen und deren Schnittpunkte B1 bzw. B2 mit Hilfskreis mit dem Mittelpunkt M zu verbinden. Die in der obigen Abbildung eingezeichneten strichlierten Linien fallen dann weg.

3) Mit Hilfe eines doppelt so großen konzentrischen Kreises: Ein weiterer Hilfskreis mit Mitte P durch den Mittelpunkt M des angegebenen Kreises k schneidet aus dem "großen" konzentrischen Hilfskreis die Punkte R1 und R2. Die Strecken R1,M bzw. R2,M schneiden dann den Kreis k in den gesuchten Berührpunkten T1 und T2.

Bei dieser Konstruktion wird die Eigenschaft, dass die Streckensymmetrale (P,T1) normal zur Strecke M,R1 verläuft, verwendet.