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IDevice Icon Vorwissen

Für die folgende Übung sind folgende Vorkenntnisse empfehlenswert:

  • Parameterdarstellung von Flächen
  • partielle Ableitungen
  • Kreuzprodukt von Vektoren
  • Einheitsvektoren (normierte Vektoren)

IDevice Icon Ziele

  In dieser Übung erarbeiten wir das Offset (Parallelfläche) einer Kugel.


Wiederholung Polarkoordinaten:

Die Figur links erklärt die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

In Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten erhalten wir räumliche Kugelkoordinaten wie folgt:

Mehrfachauswahl

Offset einer Kugel

Zur Berechnung des Offsets einer Kugel verwenden wir die folgende Parameterdarstellung

und berechnen die partiellen Ableitungen.

Welche der folgenden Antworten ist richtig?




iDevice Icon Lücken-Aktivität

Verwende zum Ausfüllen des Lückentexts die Wörter:

parallel, windschief, normal, Kreuzprodukts, skalaren Produkts

Die soeben berechneten Vektoren Fu und Fv legen die Richtungen von zwei Tangenten im Kugelpunkt P=F(u,v) fest. Der Richtungsvektor n der Flächennormalen steht zu diesen beiden Vektoren und lässt sich daher mit Hilfe des berechnen.

  

Mehrfachauswahl

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren

und

.

Wie lautet das richtige Ergebnis?




Fassen wir zusammen:

1) Die partiellen Ableitungen (nach u bzw. v) sind Richtungsvektoren der Tangenten an die u- und v-Linien.

2) Der Normalvektor n wird mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet.

In unserem Beispiel berechnet sich dieser mit:

IDevice Frageicon Multiple-Choice

Wir berechnen nun den Einheitsvektor n0 der Flächennormalen.

Überlege bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind - versuche deine Wahl zu begründen und vergleiche mit dem Feedback.

  
Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich als Summe der einzelnen Komponenten.
Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich als Produkt der einzelnen Komponenten.

Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich mit:


Die Länge der Vektors n berechnet sich mit:
       
1


Wie lautet der richtige (und vereinfachte) Einheitsnormalenvektor?
       


Wir erhalten das Offset einer Fläche analog zum Offset einer Kurve, indem wir auf den Flächennormalen einen konstanten Abstand d abtragen.

Das Offset einer Fläche berechnet sich daher mit:

kugeloffset In unserem Fall erhalten wir durch Einsetzen

und damit durch Zusammenfassen 

Das sind Parameterdarstellungen von Kugeln mit den Radien r ±  d.