Für die folgende Übung sind folgende Vorkenntnisse empfehlenswert:
Offsets von Kurven
Ziele
Test zum Thema Offsets von Kurven
Offsets von Kurven
1) Offsets von Kurven: Offsets von ebenen Kurven; Offsets von Kreisen & Ellipsen; Parallelkurven einer Ellipse (!); Parallelkurve einer Parabel; Kurve, Offsetkurve, Evolute; Spitzen im Ellipsenoffset; Umriss eines Torus bei Normalprojektion; Offsets ebener Polygone;
Richtig/Falsch Fragen
Offsets von ebenen Kurven
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
Der Offset-Abstand zu einer ebenen glatten Kurve wird längs der Kurventangente aufgetragen/gemessen.
Richtig
Falsch
Falsch!
Richtig!
Den Offset-Abstand zu einer Kurve k trägt man auf den Kurvennormalen von k ab.
Offsetkurven einer Kurve k besitzen dieselben Kurventangenten wie die Ausgangskurve k.
Richtig
Falsch
Falsch!
Richtig!
Offsetkurven besitzen dieselbe Kurvennormalen wie ihre Ausgangskurven. Die Kurventangenten aller Parallelkurven sind daher parallel.
Das Offset einer Kurve c besitzt die Darstellung cd(u) = c(u) ± d n0(u), wobei n0(u) jeweils der normierte Normalenvektor von c ist.
Richtig
Falsch
Richtig!
Falsch!
Richtig/Falsch Fragen
Evoluten und Offsetkurven
Welche der folgenden Behauptungen stimmen?
Die Evolute ist auch die Einhüllende aller Kurventangenten.
Richtig
Falsch
Falsch!
Richtig!
Die Evolute ist auch die Einhüllende aller Kurvennormalen, die die Parallelkurven gemeinsam haben. Die Einhüllende aller Kurventangenten ist die Kurve selbst!
Alle Offsetkurven einer Ausgangskurve k haben dieselbe Evolute wie k.
Richtig
Falsch
Richtig!
Falsch!
Die Kuvennormalen einer Kurve sind die Tangenten der Evolute der Kurve.
Richtig
Falsch
Richtig!
Falsch!
Im Offset cd einer Kurve k entsteht eine Spitze, wenn in einem Kurvenpunkt P von k die Offsetdistanz d mit dem Krümmungsradius von k in P übereinstimmt.
Richtig
Falsch
Richtig!
Falsch!
Die Spitzen liegen auf der Evolute e.
Eine Kurve k trägt die Krümmungsmitten aller zugehörigen Offsetkurven.
Richtig
Falsch
Falsch!
Richtig!
Eine Kurve und alle zugehörigen Offsetkurven haben dieselbe Evolute. Sie ist die Ortslinie der Krümmungsmitten der Ausgangskurve und aller Offsetkurven.
Offset einer Ellipse
Die Figur links erklärt, wie man die Parameterdarstellung einer Ellipse erhält:
Lücken-Aktivität
Verwende zum Ausfüllen des Lückentexts Wörter aus dieser Liste:
parallel, integriert, Tangentenvektor, normal, Normalvektor, differenziert, Einheitsnormalvektor,c(u),d, c'(u), u, a, b, cos(u), sin(u).
Zur Berechnung des Offsets einer Ellipse verwenden wir die folgende Parameterdarstellung
Den Tangentenvektor t(u) der Ellipse zum Parameterwert u erhält man, indem man c(u)JXUwMDNjJXUwMDBkJXUwMDBmJXUwMDAwJXUwMDAzJXUwMDE3JXUwMDE3JXUwMDBiJXUwMDE0JXUw
MDEzJXUwMDBjJXUwMDE3JXUwMDA2
:
t(u) = (-a
JXUwMDJiJXUwMDFhJXUwMDA3JXUwMDQ2JXUwMDVkJXUwMDVj
, b
JXUwMDNiJXUwMDBjJXUwMDFjJXUwMDViJXUwMDVkJXUwMDVj
)t
Dreht man t(u) um 90° gegen den Uhrzeigersinn, so erhält man den
JXUwMDE2JXUwMDIxJXUwMDFkJXUwMDFmJXUwMDBjJXUwMDBkJXUwMDFhJXUwMDEzJXUwMDBlJXUw
MDFmJXUwMDFiJXUwMDFk
n(u):
n(u) = (- b
JXUwMDNiJXUwMDBjJXUwMDFjJXUwMDViJXUwMDVkJXUwMDVj
, - a
JXUwMDJiJXUwMDFhJXUwMDA3JXUwMDQ2JXUwMDVkJXUwMDVj
)t
Mehrfachauswahl
Das Offset einer Ellipse mit der Parameterdarstellung
besitzt also im Punkt mit dem jeweils entsprechenden Parameterwert u den Einheitsnormalvektor
.
Das Offset der Ellipse im Abstand d berechnet man folgendermaßen:
Richtig
Falsch
Richtig
Falsch
Richtig
Falsch
Richtig
Falsch
zu Antwort (a) Der Normalenvektor n muss normiert (d.h. auf die Länge 1 gebracht) werden!
Antwort (b) = Antwort (c), da
Das Offset einer Ellipse mit der Parameterdarstellung
besitzt also im Punkt mit dem jeweils entsprechenden Parameterwert u den Einheitsnormalvektor
.
Das Offset der Ellipse im Abstand d lautet deshalb:
Richtig/Falsch Fragen
Offsets von Kurven
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Das Offset einer Ellipse ist wieder eine Ellipse.
Richtig
Falsch
Hinweis
Vergleiche die Parameterdarstellung einer Ellipse mit der Parameterdarstellung des Ellipsen-Offsets.
Falsch!
Richtig!
Das zeigt die Parameterdarstellung des Ellipsen-Offsets.
Der Umriss eines Torus bei Normalprojektion ist das Offset einer Ellipse.
Richtig
Falsch
Hinweis
Die Normalprojektion eines Kreises (welcher nicht parallel und nicht normal zur Bildebene liegt) ist eine Ellipse.
Richtig!
Falsch!
Der Umriss ist das Offset jener Ellipse, die als Normalprojektion des Torus-Mittenkreises entsteht.
Die Offsets von Bézierkurven sind keine Bézierkurven.
Richtig
Falsch
Hinweis
Parameterdarstellungen von Bézier-Kurve und Offset einer Bézier-Kurve vergleichen.
Richtig!
Falsch!
Die Offsets von Bézier-Kurven lassen sich nicht mehr alleine mit Hilfe von Polynomen darstellen, daher kann das Offset einer Bézier-Kurve keine Bézier-Kurve mehr sein.