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Für die folgende Übung sind folgende Vorkenntnisse empfehlenswert:
- Parameterdarstellung von Flächen
- partielle Ableitungen
- Kreuzprodukt von Vektoren
- Einheitsvektoren (normierte Vektoren)
In dieser Übung erarbeiten wir das Offset (Parallelfläche) einer Kugel.
Wiederholung Polarkoordinaten:
Die Figur links erklärt die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:
In Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten erhalten wir räumliche Kugelkoordinaten wie folgt:
Offset einer Kugel
Zur Berechnung des Offsets einer Kugel verwenden wir die folgende Parameterdarstellung
und berechnen die partiellen Ableitungen.
Welche der folgenden Antworten ist richtig?
Verwende zum Ausfüllen des Lückentexts die Wörter:
parallel, windschief, normal, Kreuzprodukts, skalaren Produkts
Die soeben berechneten Vektoren Fu und Fv legen die Richtungen von zwei Tangenten im Kugelpunkt P=F(u,v) fest. Der Richtungsvektor n der Flächennormalen steht
zu diesen beiden Vektoren und lässt sich daher mit Hilfe des berechnen.Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren
und
.
Wie lautet das richtige Ergebnis?
Fassen wir zusammen:
1) Die partiellen Ableitungen (nach u bzw. v) sind Richtungsvektoren der Tangenten an die u- und v-Linien.
2) Der Normalvektor n wird mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet.
In unserem Beispiel berechnet sich dieser mit:
Wir berechnen nun den Einheitsvektor n0 der Flächennormalen.
Überlege bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind - versuche deine Wahl zu begründen und vergleiche mit dem Feedback.
Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich als Summe der einzelnen Komponenten.
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Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich als Produkt der einzelnen Komponenten.
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Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich mit:
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1
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Wir erhalten das Offset einer Fläche analog zum Offset einer Kurve, indem wir auf den Flächennormalen einen konstanten Abstand d abtragen.
Das Offset einer Fläche berechnet sich daher mit:
In unserem Fall erhalten wir durch Einsetzen
und damit durch Zusammenfassen
Das sind Parameterdarstellungen von Kugeln mit den Radien r ± d.