Die Wurfparabel

1. Historisches
2. Das physikalische Problem
3. Eine einfache Herleitung der Wurfkurve
4. Eine anspruchsvolle Herleitung der Wurfkurve
5. Physikalische Folgerungen
6. Beispiel Basketball

Die Planetenbewegung

7. Historisches
8. Das physikalische Problem
9. Eine Herleitung der Planetenbewegung
10. Beispiel Komet

Vorschläge für einen projektartigen Unterrichsablauf

Literatur

Die Wurfparabel

1. Historisches ([1] und [2])
Die Frage „Warum fällt der Apfel zu Boden?" - dh. die Frage nach Ursache und Form einer Bewegung - beschäftigte nicht erst Isaac Newton, sondern schon griechische Philosophen.

Unter einer Bewegung verstand man im antiken Griechenland einen Prozeß, der

• einen natürlichen oder gewaltsamen Antrieb benötigt (Aristoteles) oder
• durch eine allmählich abnehmende Kraft (-diese heißt Impetus-) gesteuert wird (Philoponos).

Anfang des 17. Jahrhunderts formulierten der Mathematiker Rene Descartes und der Physiker Christian Huygens eine neue Theorie: Bewegung sei ein Zustand, dessen Änderung eine Ursache benötige. Während

• Descartes und Huygens den Stoß als Ursache ansahen,
• erkannte Isaac Newton (1642-1727) die Kraft als Ursache jeglicher Bewegungsänderung.

Dabei berief er sich auf das von ihm entdeckte Allgemeine Gravitationsgesetz. Wir folgen nun Newtons Spuren.

2. Das physikalische Problem ([4], [6] und [7])

Wir wollen die Wurfbahn eines Objekts unter Einfluß der Schwerkraft untersuchen. Aufgrund von Beobachtungen vermuten wir:

Die Art der Wurfkurve ist abhängig von

• der äußeren Form, Dichte und Masse m des Objekts,
• der Erdbeschleunigung (Schwerkraft),
• dem Reibungswiderstand (Luftwiderstand),
• der Starthöhe h₀
• der Startgeschwindigkeit v₀ und
• dem Startwinkel j₀ gegen die Erdoberfläche.

• Wir vernachlässigen Form und Dichte des Objekts und betrachten die Bahnkurve des Schwerpunkts, dh. des Teilchens T mit Masse m.
• Wir ersetzen die gekrümmte Erdoberfläche lokal durch eine Tangentialebene p₁.
• Wir setzen voraus, daß auf jedes Teilchen T eine gegen die Standebene p₁ gerichtete Schwerkraft wirkt. Die Gravitationskonstante g» 9.81 ms^-2 ist der Durchschnittswert ortsabhängiger, experimentell bestimmter Meßwerte. Alle Schwerkraftvektoren bilden ein homogenes Parallelkraftfeld.
• Wir vernachlässigen den Luftwiderstand. (Auch diesen müssten wir als ein Vektorfeld erklären!)

3. Eine einfache Herleitung der Wurfkurve ([5], [6] und [4])

Wir setzen neben unseren Vereinbarungen die 3 Newtonschen Gesetze und das Unabhängigkeitsprinzip voraus und zerlegen die Gesamtbewegung in 2 Teile:

• Führungsbewegung: Wird das Teilchen T mit der konstanten Startgeschwindigkeit v₀ unter dem Startwinkel j₀ abgeschossen, so bewegt es sich ohne Berücksichtigung der Schwerkraft unbeschleunigt geradlinig und gehorcht der Formel „zurückgelegter Weg s = Geschwindigkeit v₀ · Zeit t"
• Fallbewegung: Fällt das Teilchen T ohne Berücksichtigung von Startgeschwindigkeit und Startwinkel, dann wird es durch die Erdanziehungskraft gleichmäßig beschleunigt und gehorcht somit der Formel . Der zurückgelegte Weg wächst mit dem Quadrat der verstrichenen Zeit.
• Die tatsächliche Wurfbewegung entsteht als Überlagerung (Vektoraddition) dieser beiden Teilbewegungen. Bei der erzeugten Wurfkurve handelt es sich um eine ebene Kurve.

Die Parameterdarstellung der Kurve lautet damit (bei Vernachlässigung der Starthöhe h₀)

Die Bahngleichung ergibt sich nach Eliminieren des Zeitparameters t unter Verwendung von

als

Diese Gleichung 2. Grades beschreibt, wie allgemein bekannt, eine Parabel.

Im nächsten Abschnitt entwickeln wir dieselbe Gleichung unter anderen Voraussetzungen; daher verzichten wir an dieser Stelle auf genauere Untersuchungen.

Die Abhängigkeit der Parabelbahn von den Parametern v₀ und j₀ kann etwa durch ein Algebraprogramm visualisiert werden. (Genaueres dazu findet sich in [4])

4. Eine anspruchsvolle Herleitung der Wurfkurve ([5])

Wir verzichten auf das Unabhängigkeitsprinzip und leiten die Bewegungsgleichung aus dem abstrakten Begriff des Parallelkraftfelds und unter Vermeidung allzu anschaulicher Betrachtungen ab. Diese Methode hat gegenüber der naiven Betrachtung in 3. den Vorteil, auf beliebige Kraftfeldtypen, so etwa der Zentralkraft (siehe Planetenbewegung), anwendbar zu sein.

Wir betrachten wieder ein Teilchen T mit Masse m und Ortsvektor  (in einem räumlichen Koordinatensystem mit Einheitsvektoren ), welches während des Wurfs durch die Schwerkraft beschleunigt wird. Nach dem 2. Newtonsche Gesetz „Kraft =Masse m · Beschleunigung " wirkt auf das Teilchen die Kraft

Wir vereinfachen diese Vektorgleichung zu

Nach einmaliger Integration nach t erhalten wir den Geschwindigkeitsvektor

worin  einen konstanten Vektor (Integrationskonstante) darstellt. Unter Verwendung der Startwerte j₀ und v₀ und der daraus resultierenden Startbedingung

errechnen wir die Konstante . Wir integrieren

und erhalten eine Parameterdarstellung der Wurfkurve als

Bei  handelt es sich um eine Schiebkonstante. Berücksichtigen wir die Starthöhe h₀, so erhalten wir die ausführlich geschriebene Parameterdarstellung

Wir vernachlässigen die Wurfhöhe (h₀=0) und erhalten eine die Wurfbahn beschreibende Gleichung als

Wir wenden auf diese Kurve eine Schiebung (metrische Hauptachsentransformation mit neuen Koordinaten x₀,y₀,z₀) an und erhalten die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel

mit lotrechter Achse und Parabelparameter .

5. Physikalische Folgerungen ([5])
 
 

• Die Masse des Objekts hat auf die Flugbahn keinerlei Auswirkung.
• Die Anfangsgeschwindigkeit v₀ errechnet sich aus dem Scheitelkrümmungsradius q der Wurfparabel (entspricht dem Parabelparameter) als . Damit ist es prinzipiell möglich, aus etwa einer Stroboskopaufnahme bei Kenntnis des Startwinkels durch Messung des Parabelparameters auf die Startgeschwindigkeit zu schließen.
• Wir bestimmen die Koordinaten des an höchster Stelle gelegenen Parabelscheitels S: Da seine z-Koordinate maximal sein muß, führt Differenzieren und „Null-Setzen" der 3. Komponente  zu . Zu diesem Zeitpunkt durchläuft das Teilchen P den Kurvenscheitel S mit den Koordinaten  .
• Setzen wir konstanten Abschußwinkel  voraus und betrachten wir die Schar aller zu verschiedenen Startgeschwindigkeiten v₀ gehörigen Wurfparabeln, dann liegen alle Parabelscheitel auf der „Scheitel"geraden .
• Sind Start- und Landehöhe gleich , etwa z=0, dann folgt aus  die bekannte Aussage: „Komplementäre Wurfwinkel liefern dieselbe Weite."
• Wir verwenden die obige Formel und erkennen aufgrund der Maxima der Sinusfunktion: „Die größte Wurfweite wird bei j₀=45° erreicht und beträgt 

6. Beispiel Basketball ([5])

Im folgenden wird das DG-Arbeitsblatt „Basketball 1" zum Thema Wurfparabel besprochen.
Eine weitere, komplett analog zu lösende Aufgabe „Basketball 2" ist beigelegt:

Basketball 1:Ein Basketballer wirft einen Ball aus der Position W mit Wurfwinkel 40° (=1.Böschungswin-kel) so, daß der Ball zuerst das Brett im Punkt B trifft und danach in den Korb K fällt.

Beantworte:

Wo liegt der Reflexionspunkt B?

Wo liegt der Scheitel S der Wurfkurve?

Mit welcher Geschwindigkeit muß der Ball abgeworfen werden, um diese Bahn einzuhalten?

Notwendiges Basiswissen:

• Nur die Schwerkraft (homogenisiert, gegen die Grundrißebene gerichtet) und die Startgeschwindigkeit beeinflussen die Wurfbahn.
• Es gilt das Unabhängigkeitsprinzip der Mechanik. (Veranschaulichung durch Vektoren)
• Die Wurfkurve ist eine nach unten geöffnete Parabel mit lotrechter Achse.
• Das Reflexionsgesetz am ebenen Spiegel lautet „Einfallswinkel=Austrittswinkel".

• Die Wurfbahn des Balls (genauer: seines Schwerpunkts) besteht aus zwei Teilen; der erste reicht vom Abwurfort W bis zum Reflexionspunkt B am Brett, der zweite von dort bis zur Korbmitte K (und darüber hinaus). Wir verlängern den ersten Kurventeil p₁ über B hinaus: Der zweite Teil p₂=p_1s entsteht aus dem ersten durch Spiegelung am Brett.
• Wir spiegeln die Korbmitte K am Brett und erhalten den Punkt K_s. Die Bahnebene von p₁ ist lotrecht und daher durch W und K_s bereits eindeutig bestimmt.
• Die Starttangente t liegt in dieser Bahnebene und ist gegen die Standebene 40° geneigt. („Passende" Lösung auswählen!)
• Die Wurfparabel p₁ ist durch das Linienelement (W,t), dem Punkt K_s und der lotrechten Achsenrichtung eindeutig bestimmt. (Beweis: Parabelkonstruktion nach Domkowitsch.) Bemerkenswert ist, daß der Scheitel der Raumparabel auf den Scheitel der Aufriß- bzw. Kreuzrißparabel abgebildet wird. (Beweis: Parabelachse ist 2. und 3. Hauptgerade)
• Der Reflexionspunkt B ist der Schnittpunkt der Parabel p₁ mit p₂ und dem Brett. Er liegt auf der lotrechten Schnittgeraden der Bahnebene von p₁ und der Ebene des Bretts.
• Aus der Kenntnis von Wurfwinkel und Parabelparameter (bzw. Scheitelkrümmungsradius) kann die Startgeschwindigkeit nach 5. berechnet werden.

• Konstruktion in Grund-, Auf- und Kreuzriß
• Normale Lage Gerade-Ebene (Spiegelung von K)
• Länge einer Strecke (Spiegelung von K)
• Schnittaufgabe Ebene-Ebene (Bestimmung der lotrechten Trägergeraden von B)
• Eine projiziende Ebene durch einen Seitenriß oder eine Paralleldrehung in Hauptlage bringen (Festlegung der Tangente t; Bestimmung des Parabelparameters)
• Parabelkonstruktion aus 2 Linienelementen
• Konstruktion eines Schnittpunkts einer Parabel mit einer Durchmessergeraden (Bestimmung des Reflexionspunkts B)
• Konstruktion des Scheitelkrümmungskreises einer Parabel
• Schnittaufgabe Gerade-Ebene (Konstruktion der Tangente im Punkt K der Parabel p₂)

7. Historisches ([1] und [2])

Schon in der Antike beschäftigten sich Gelehrte mit den Himmelskörpern. Während die Beobachtung des Sternenhimmels zuerst aus rein religiösen Gründen (Babylonien, etwa 800 v.Chr.) geschah, bemühten sich Gelehrte schließlich um die Lösung folgender Fragen:

• Auf welchen Bahnen bewegen sich die Planeten?
• Warum bewegen sich die Planeten?
• Steht die Erde still oder bewegt sie sich ?

Es wurden folgende Theorien zuerst befürwortet, dann geprüft und schließlich verworfen:

• Babylon, 800 v.Chr.: Die Erde ruht in der Weltmitte, um die Fixsterne und Planeten rotieren. (Geozentrisches Weltbild)
• Pythagoreer: Erde, Gegenerde und die Planeten umkreisen das Zentralfeuer.
• Herakleides von Pontos, 400 v.Chr.: Sonne und Erde laufen um die Weltmitte.
• Aristarchos von Samos, 280 v.Chr.: Planeten umkreisen die Sonne. (Heliozentrisches Weltbild)
• Ägyptisches System, 300 v.Chr.: Die Erde ist die Weltmitte und wird von Mond und Sonne umkreist; alle anderen Planeten umkreisen die Sonne.
• Ptolemaios, 150 n.Chr.: Alle Planeten umkreisen die Erde auf Trochoidenbahnen. Die scheinbar rückläufige Bewegung mancher Planeten begründet er durch Epizykel.
• Nikolaus Kopernikus (1473-1543) konnte die scheinbare Rückläufigkeit mancher Planeten im heliozentrischen Weltbild ohne Verwendung von Epizykeln hinreichend genau erklären.
• Galilei Galileo beobachtete mit einem eigens gebauten Fernrohr Sonnenflecken und die Venusphasen. Als er „seine" Rechtfertigung des kopernikanischen Systems „Dialog über die beiden hauptsächlichen Weltsysteme, das ptolemaische und das kopernikanische" veröffentlichte, wurde er in einem Prozeß 1632 zum Widerruf seiner Ideen gezwungen.
• Johannes Kepler (1571-1630) versuchte zuerst, das kopernikanische System unter Verwendung „konzentrischer" Polyeder zu begründen. Nach umfangreichen Studien und Beobachtungen beim kaiserlichen Hofastronom Tycho Brahe in Prag formulierte er eine neue, durch Beobachtung gestützte Theorie in den 3 Keplerschen Gesetzen.
• Isaak Newton gelang schließlich die mathematische Begründung, d.h. der Beweis der Keplerschen Gesetze.

Wir setzen das Allgemeine Gravitationsgesetz von Isaac Newton voraus:
 

Zwei Massepunkte P und Q ziehen einander mit der Kraft  an, die nur von den Massen p und q sowie dem gegenseitigen Abstand der Punkte P und Q abhängt. G ist eine Naturkonstante und beträgt etwa G = 6,673 10-11 Nm2/kg2.

Wir betrachten einen Himmelskörper, der in das Schwerefeld einer Sonne eintritt. Die Art der neuen Flugbahn ist abhängig von

• Form, Dichte und Masse m des Himmelskörpers,
• der Entfernung zur Sonne („Startdistanz"),
• der momentanen Bewegungsrichtung („Startrichtung") und -geschwindigkeit („Startgeschwindigkeit")
• der Masse der Sonne,
• der Naturkonstante G ,
• der Anziehungskraft der Sonne
• sowie der Anziehungskräfte weiterer Himmelskörper, die mit dem Himmelskörper in Wechselwirkung treten.

Die Gesamtbewegung des Teilchens läßt sich auf folgende Weise in 2 Teilbewegungen zerlegen:

• Führungsbewegung: Zu jedem Zeitpunkt bewegt sich das Teilchen ohne Berücksichtigung der Anziehungskraft unbeschleunigt geradlinig.
• Fallbewegung gegen das Kraftzentrum Sonne: Das Teilchen fällt gleichmäßig beschleunigt in Richtung Sonne.
• Die tatsächliche Flugbewegung entsteht als Überlagerung (Vektoraddition) dieser beiden Teilbewegungen. Bei der Kurve handelt es sich eine ebene Kurve.

9. Eine Herleitung der Planetenbewegung ([5])

Da die mathematische Behandlung der Bewegungsbahnen Kenntnisse über das Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung verlangt, beschränken wir uns auf eine skizzenhafte Beschreibung der Herleitung:

Im Gegensatz zur Wurfbewegung im homogenen Parallelkraftfeld wirken nun alle Kraftvektoren in Richtung Kraftzentrum; wir sprechen daher von einem homogenen Zentralkraftfeld und definieren:
 

Das Vektorfeld  heißt homogenes Zentralkraftfeld. Ist f(r)<0, dann heißt das Feld anziehend, ansonsten abstoßend. Da die Anziehungskraft nur vom Abstand des Punktes vom Zentrum abhängt, liegt die Verwendung von Polarkoordinaten nahe.

Wir verwenden folgende Kenntnisse:

(Nachzulesen in [5])

• Unter Einfluß eines homogenen Zentralkraftfelds durchläuft jeder Punkt eine ebene Bahn.

• Der Ortsvektor des Punktes P überstreicht zu gleichen Zeiten gleiche Flächen. (Flächensatz)
• Die Bewegungsgleichungen eines Massepunkts P mit der Masse m und den Polarkoordinaten  lauten .
• Unter Einfluß der Zentralkraft f(1/u), 1/u:=r wird die Bahn des Punktes P durch die Differentialgleichung 

In unserem Fall lautet der Kraftbetrag ; die Konstante k ist Produkt der Konstanten G , p und q. Wir substituieren r=1/u und setzen f(1/u) in die Bewegungsgleichung ein. Die entstehende Differentialgleichung

wird durch

mit den Konstanten C₁ und C₂ (-bewirkt eine Drehung um das Zentrum, wird daher vernachlässigt-) gelöst. Insgesamt ergibt sich unter Verwendung der Abkürzungen

die Polargleichung

eines Kegelschnitts mit numerischer Exzentrizität e . Unter Verwendung der Beziehung

ergibt sich die Gleichung

Bei  handelt es sich um eine Parabel mit linearer Exzentrizität p/2, ansonsten um eine Ellipse oder Hyperbel mit halben Haupt- und Nebenachsenlängen . Im Falle einer Hyperbel ist b imaginär. Die lineare Exzentrizität beträgt e=ae . In allen Fällen ist das Kraftzentrum S ein Brennpunkt des Bahnkegelschnitts.

Zusammenfassend gilt:

Unter Einfluß einer zum Abstandsquadrat indirekt proportionalen Zentralkraft beschreibt jedes Teilchen eine Kegelschnittsbahn. Ein Brennpunkt dieser Bahn fällt in das Kraftzentrum S.

Der Parabelfall stellt den Übergang zwischen Ellipsen- und Hyperbelfall dar und ist daher meist nur von theoretischem Interesse.

Bem.: Wurfparabel und Planetenbewegung sind zwei verschiedene modellartige „Realisierungen" desselben Phänomens Bewegung. Beschreibt man die Fallbewegung gegen die Erdoberfläche nämlich mit dem genaueren Modell der Zentralkraft, so bewegt sich der Körper auf einer Wurfellipse.
 
 

10. Beispiel Komet ([5])

Im folgenden wird das DG-Arbeitsblatt „Komet 1" zum Thema Planetenbewegung besprochen. Eine weitere, komplett analog zu lösende Aufgabe „Komet 2" ist beigelegt.

Komet 1: Ein Komet bewegt sich auf parabolischer Bahn im Zentralkraftfeld der Sonne S. Von der Bahn k sind momentane Position K und momentane Flugrichtung t (1.Hauptlage) bekannt. Bestimme den kürzsten Abstand Komet-Sonne (Die Position heißt Perihel bzw. Perigäum).

Hinweis: Es wird empfohlen, die Außrißparabel durch 3 Linienelemente festzulegen.

Notwendiges Basiswissen:

• Die Anziehungskraft ist umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat.
• Alle Schwerkraftvektoren weisen zum Kraftzentrum Sonne.
• Unter Einfluß dieses Krafttyps bewegen sich Himmelskörper auf Kegelschnitten.

• Die Bahn eines Kometen entspricht nur näherungsweise einer Parabel.
• Die momentane Bewegungsrichtung t des Kometen wird in der Praxis durch eine zwei benachbarte Kometenpositionen verbindende Sehne angenähert.
• Die Bahnebene a des Kometen ist durch das Zentrum S und die Bahntangente t festgelegt.
• Die Bahnparabel k ist durch Angabe des Brennpunkts S und des Linienelements (K,t) eindeutig bestimmt: Spiegelt man die Gerade SF an der Tangente t (in der Ebene a ), so erhält man einen Parabeldurchmesser.
• Der kürzeste Abstand Komet-Sonne ist der Abstand Parabelscheitel-Sonne; die dazugehörige Kometenposition heißt Perihel bzw. Perigäum.

• Hauptgeraden einer Ebene (Bestimmung von t")
• Paralleldrehung einer allgemeinen Ebene (a in 1. Hauptlage drehen)
• Scheinwerfereigenschaft einer Parabel (in parallelgedrehter Lage)
• Krümmungskreis einer Parabel
• Parabelkonstruktion aus 2 Linienelementen (Grundrißparabel)
• Affin invariante Konstruktion von Parabelpunkten und Tangenten

Vorschläge für einen projektartigen Unterrichtsablauf

Beide Themengebiete können in folgenden Schritten projektartig erarbeitet werden:

• Erarbeiten des Basiswissens in Gruppen: Es bilden sich mehrere Gruppen, die jeweils eines der folgenden Themen behandeln: Geschichtliche Entwicklung Physikalisches Modell Mathematische Herleitung Anwendungen der Kenntnisse in benachbarten Sparten Die Gruppen sollen die notwendigen Informationen durch ihre DG-, PH- und GSK-Lehrer, aus ihren Schulunterlagen (PH, GSK, MA, ...) sowie aus Fachbüchern und Zeitschriften der Schulbibliothek, ... und der im Literaturverzeichnis angegebenen Werke erlangen.
• Erweitern des Basiswissens durch Teamteaching (Physiklehrer !).
• Präsentation des Basiswissens innerhalb der Klasse: Jedes Team stellt seine Erkenntnisse in Form eines Kurzreferats dar. (Unterlagen kopieren und an alle Gruppen verteilen.)
• Lösen des Konstruktionsbeispiels: Das jeweilige Beispiel kann in gemeinsamen Ge spräch mit dem Lehrer erarbeitet und eine Kon struktionsbeschreibung angegeben werden.
• Praktische Versuche und Demonstrationen: Wurfparabel: Experimentelle Kontrolle der Rechenergebnisse im Beispiel Basketball 1 (Leibesübungen), Analyse einer Stroboskobaufnahme (Physik), ... Planetenbewegung: Beobachtung einer Planetenbahn, Aufnahme einer Planetenbahn mit großer Belichtungszeit (mehrere Wochen!), Exkursion in Observatori en, ..
• Festigung der Konstruktion durch ein HÜ-Beispiel: Die beigelegten „Parallel"beispiele können als Hausübung aufgegeben werden.
• Visualisierung mit Software: Zur Visualisierung können die beliegenden Programme sowie mit Algebraprogramme (Derive, MathCad,..) erstellte Anwendungen (siehe [4]) verwendet werden. Diese können durchaus auch von Schülern erstellt werden.
• Gestaltung eines Posters zur Präsentation außerhalb der Klasse: Alle gesammelten Erkenntnisse und Unterlagen werden neu zusammengefaßt und in einem Poster arrangiert. (Screenshots der Software!)

[1] Dönhoff, H.: Selbst untersuchen (Computer und Unterricht, 13/1994)
Dieser Artikel zeigt eine Möglichkeit, das Phänomen Wurfparabel PC-gestützt und durch Schülerversuche zu besprechen. Daneben befaßt sich der Autor mit der Frage, inwiefern der Einsatz neuer Technologien im Unterricht ertragreich sein kann.

[2] Hund, F.: Geschichte der physikalischen Begriffe (BI-Hochschul-Tb, 1968)
Diese Buch liefert einen Überblick über die Entwicklung der Physik. Insbesondere versucht der Autor, den Wandel in der Denkweise der Physiker und die damit verbundenen Änderungen in der Bedeutung physikalischer Begriffe zu vermitteln. Dadurch gelingt es, einen Einblick in die Kultur hinter der Physik darzubieten. Dieses Buch ist leicht lesbar und zur Erweiterung des geschichtlichen Wissens daher recht empfehlenswert.

[3] Jung, W.: Weltbild Kolleg Physik (Fischer Tb, 1983)
In diesem Taschenbuch wird die Mittelschulphysik neu aufbereitet präsentiert. Aufgrund des Umfangs und der damit verbundenen Kompaktheit der Ausführungen ist das Buch zum Selbst studium nur bedingt zu empfehlen.

[4] Keil, A.: Trainigsprogramm für Kugelstoßer (MU 2/1997)
In diesem Artikel wird die mathematische Behandlung der Wurfparabel sowie die Verwendung und die Visualisierung mit Algebraprogramm Derive geschildert. Die beschriebene Vorgangsweise erscheint mir sehr praxisnahe, der Beitrag daher sehr empfehlenswert.

[5] Paulsen, H.: Geometrieanteile im Physikunterricht an AHS (Diplomarbeit, 1996)
Die unter der Anleitung von Prof. Dr. Weiß verfasste Diplomarbeit behandelt Phänomene aus den Bereichen Raum-Zeit-Diagramme, ebene Statik, Schwerpunkt, Wurfparabel und Planeten bewegung, Reflexion, Brechung und Totalreflexion, Geometrie der Konstaktlinse und die spe zielle Relativitätstheorie. Die Aufbereitung der Themen ist teils schuladäquat, teils deutlich hochschulorientiert.

[6] Sexl u.a.: Physik 1und 2 (Hölder-Pichler-Tempsky, 1992)

[7] Schreiner, J.: Physik 1 und 2 (Hölder-Pichler-Tempsky, 1976)

[8] Apogee: Sharewareprogramm Bash1
In diesem Programm kommt die Wurfparabel als spielgestaltendes Element ständig vor.