Flächen aus Krümmungsinformationen - Ein spielerischer Ansatz

vom österreichischen Wissenschaftsfonds FWF finanziertes Forschungsprojekt

Projektdetails:

Personen

Kurzfassung

Ein übliches geometrisches Problem im Autobahnbau ist es, die Straße so zu entwerfen, dass der Lenkradeinschlag beim Durchfahren nicht abrupt erfolgt, sondern möglichst stetig und gleichförmig. Das übersetzt sich in die Geometrie so, dass man die geometrische Form einer Kurve und damit die Kurve selbst so zu bestimmen versucht, dass die Krümmung dieser Kurve möglichst glatt und gleichförmig ist. Das heißt, man sucht eine Kurve zu einer vorgegebenen Krümmungsfunktion.

Anstatt für Kurven kann man das auch für Flächen machen. Wir können zum Beispiel die sogenannte mittlere Krümmung vorgeben. Ein berühmter Fall besteht darin, diese mittlere Krümmung als Null vorzugeben. Dann erhält man sogenannte Minimalflächen, die dadurch bekannt sind, dass sich diese als Seifenhäute einstellen, wenn man eine gekrümmte Drahtschleife in eine Seifenlösung eintaucht und wieder herauszieht. Oder man bekommt Flächen mit konstanter (aber nicht verschwindender) mittlerer Krümmung als Seifenhäute, wo der Luftdruck auf der einen Seite ein anderer ist als auf der anderen Seite. Zum Beispiel als einzelne Seifenblasen, die kugelförmig sind, oder Seifenblasen, die an einem anderen Objekt dranhängen und daher nicht kugelförmig sind.

Ein sehr analoges Problem stellt sich im betrachteten Projekt. Wir geben eine beliebige mathematische Funktion vor (wie zum Beispiel: Sinus, Cosinus, Polynomfunktion, oder irgend eine Kombination aus bekannten Funktionen) und bestimmen damit eine Fläche, die genau diese vorgegebene Funktion zur mittleren Krümmung hat.

Wir wählen für unsere Untersuchungen den sogenannten Citizen Science Ansatz. Wir haben einen Teil eines größeren Projektvorhabens so vereinfacht, dass er durch nicht speziell vorgebildete Bürger bearbeitet werden kann. Wir erwarten uns durch eine Vielzahl and Experimenten, durch Neugier und durch die Teilnahmebereitschaft der Bürger eine große Menge an interessanten und ästhetischen Beispielen, aus welchen wir wissenschaftliche Rückschlüsse ziehen wollen. Wir wollen insbesondere auch diese Methode (Flächen aus Krümmungsinformationen) auf einen möglichen Einsatz als Designwerkzeug testen.

Ein Teil des Projektes besteht auch darin, Modelle von diesen Flächen, die wir im ersten Schritt erzeugt haben, zu bauen beziehungsweise dreidimensional zu drucken. Daher ist die 3D-Drucktechnologie und alle damit verbundenen Themen ebenso ein wichtiger Bestandteil des Projektes. Die beteiligten Bürger sollen damit einen besseren Einblick in diese so wichtige und zukunftsträchtige Technologie bekommen.

Die beteiligten Bürger sind allen voran Schüler des Unterrichtsfaches Darstellende Geometrie. Es ist zu erwarten, dass dieser Zielgruppe der spielerische Umgang mit Funktionen und daraus resultierenden Flächen und deren Bewertung nahe liegt und auch Freude macht.

Drehflächen mit vorgeschriebener Mittlerer Krümmung

Der Link unten führt zu einer Browser-App, mit der eine Drehfläche mit einer beliebigen Funktion, die die mittlere Krümmung beschreibt, erzeugt werden kann.

browser-app

Ein paar Beispiele:

Publikationen:

Von der Krümmung zur Fläche ‐ Ein spielerischer Ansatz

L. Gotthart, C. Müller and L. Vetö

IBDG, 2/2021 to appear, (2021)

On discrete prescribed mean curvature surfaces

C. Müller

In preparation, (2021)

Notes on discrete surfaces of revoulution with periodic mean curvature

M. van Son

In preparation, (2021)